\documentclass{beamer}

\usepackage{beamerthemesplit}
\usepackage[utf8]{inputenc}  		
\usepackage[danish]{babel}           

\title{Hvornår er et bevis et bevis?}
\author{Rasmus Røge og Troels Bak Andersen}
\date{\today}

\begin{document}

\frame{\titlepage}

\section[Outline]{}
\frame{\tableofcontents}

\section{Introduktion}
\subsection{Hovedpointer fra uge 3}
\frame{
  \frametitle{Devlin: "When is a proof?"}
  Devlins opdeling af matematiske beviser:
  \begin{itemize}
  \item<1-> Højrefløjens formelle beviser
  \item<1-> Venstrefløjens bevis ved international konsensus
  \end{itemize}
  \uncover<2->{
  \begin{block}{Problem:}
  Hvordan er beviskulturen i matematik?
  \end{block}
  }
}

\subsection{Forfatterne i dette case}
\frame{
  \frametitle{Betina Heintz}
  \begin{block}{Hvem er Betina Heintz?}
  \begin{itemize}
  \item<1-> Heintz er sociolog
  \item<2-> Hun har lavet undersøgelser om, hvordan bevisførelsen foregår i matematik
  \item<3-> Hun har fokuseret på, hvordan sociale faktorer spiller ind, når beviser accepteres
  \end{itemize}
  \end{block}
}
\frame{
  \frametitle{Gila Hanna}
  \begin{block}{Hvem er Gila Hanna?}  
  \begin{itemize}
  \item<1-> Hanna forsker i pædagogik og undervisning indenfor matematikken
  \item<2-> Hun bringer dagligdagen ind i den filosofiske matematikdiskussion
  \item<3-> Hun behandler matematik i undervisningssituationer
  \end{itemize}
  \end{block}
}

\section{Analyse}
\subsection{Heintz (2003)}
\frame{
  \frametitle{Heintz: "When is a Proof a Proof?"}
  Teksten er anmeldelse af en bog af MacKenzie om beviskulturen inden for datalogi.
  
  MacKenzie skitserer 3 centrale bevistyper for verificering af korrektheden af et program.
  \begin{itemize}
  \item<2-> Fuldstændigt mekaniseret bevis udført af en computer
  \item<3-> Fuldstændigt formaliseret bevis udført af en matematiker
  \item<4-> Stringent bevis, der giver indsigt
  \end{itemize}
}
\frame{
  \frametitle{Heintz: "When is a Proof a Proof?"}
  \begin{block}{Marc Kac}
  Opdeler matematisk indsigt i evnen til at bevise en sætning og evnen til at forstå den.  
  
  Der er 4 former for indsigt i et matematisk resultat:
  \begin{enumerate}
  \item<2-> Dem man forstår og kan bevise\label{rolle1}
  \item<3-> Dem man ikke forstår, men kan bevise\label{rolle2}
  \item<4-> Dem man forstår, men ikke kan bevise\label{rolle3}
  \item<5-> Dem man hverken forstår eller kan bevise\label{rolle4}
  \end{enumerate}
  \end{block}
}
\frame{
  \frametitle{Det mekaniserede bevis}
  Beviset er fuldstændigt aksiomatiseret, så en computer kan udføre det.
  
  \begin{block}{Bevisets rolle}
  \begin{itemize}
  \item<2-> Bevisets formål er udelukkende at skabe tillid til resultatet
  \item<3-> Dataloger har stor tillid til computerens pålidelighed
  \item<4-> Beviset giver tit indsigt af type \ref{rolle2}, og sjældent af type \ref{rolle1}
  \item<5-> \alert{Men: Komplet tillid til beviset kræver et meta-program, der beviser, at beviset er korrekt, og sådan kan man fortsætte\dots}
  \end{itemize}
  \end{block}
}
\frame{
  \frametitle{Det formaliserede bevis}
  Denne kategori er ækvivalent med Devlins højrefløjsbevis.
  
  \begin{block}{Bevisets rolle}
  \begin{itemize}
  \item<2-> Bevisets formål er udelukkende at skabe tillid til resultatet
  \item<3-> Matematikere har mere tillid til håndskrevne beviser
  \item<4-> Beviset giver tit indsigt af type \ref{rolle2}, og sjældent af type \ref{rolle1}
  \item<5-> \alert{Men: Sådan et bevis består af umenneskeligt mange liniers kode}
  \end{itemize}
  \end{block}
}
\frame{
  \frametitle{Det stringente bevis}
  Denne kategori er ækvivalent med Devlins venstrefløjsbevis.
  
  \begin{block}{Bevisets rolle}
  \begin{itemize}
  \item<2-> Bevisets formål er at skabe tillid og indsigt i resultatet
  \item<3-> Beviset spiller ind når man har indsigt af type \ref{rolle3} i et resultat, og skal resultere i indsigt af type \ref{rolle1}
  \item<4-> Beviset \emph{skal} principelt kunne formaliseres
  \item<5-> \alert{Men: Resultatets pålidelighed er tidsafhængigt}
  \end{itemize}
  \end{block}
}
\frame{
  \frametitle{Det sidste tilfælde}
  \begin{block}{Spørgsmål:}
  Hvornår ser vi på et matematisk resultat med indsigt af type \ref{rolle4}?
  \end{block}
  \uncover<2->{
  \begin{block}{Svar:}
  Under det første år på universitetet\uncover<3->{, og nogle gange på andet, tredje, fjerde og femte år\dots}
  \end{block}
  }
}
\frame{
  \frametitle{Et andet syn på matematisk indsigt}
  \begin{block}{Platon}
  Platon siger matematisk indsigt er medfødt og bare skal genlæres.
  
  \uncover<2->{Tilliden til et matematisk resultat er derved af transcendent og ubestridelig art.}
  \end{block}
}

\subsection{Hanna (1990)}
\frame{
  \frametitle{Hanna: "Some Pedagogical Aspects of Proof"}
  Hanna behandler matematik i en undervisningssituation. 
  
  Hun behandler også de to typer matematikbeviser:
  \begin{itemize}
  \item<2-> Forklarende bevis
  \item<3-> Bevisende bevis
  \end{itemize}
  \uncover<4->{
  Hendes pointe er, at de to beviser er lige gyldige, og derfor må et forklarende bevis altid være at foretrække.
  }
}

\frame{
  \frametitle{Hanna: "Some Pedagogical Aspects of Proof"}
  Hun behandler forskellige egenskaber ved beviser
  \begin{itemize}
  \item<1-> Forklarende karakter
  \item<1-> Bevisende karakter
  \item<2-> Overbevisende karakter
  \end{itemize}
  \uncover<3->{hvoraf den sidste egenskab forholder sig specielt til de to andre:}
  \uncover<4->{
  \begin{itemize}
  \item Et bevis kan sagtens være overbevisende uden at være forklarende
  \item Et bevis kan sagtens være overbevisende uden at være korrekt
  \end{itemize}
  }
}

\section{Diskussion}
\frame{
  \frametitle{Oplæg til diskussion}
  \begin{block}{Forhold jer til følgende spørgsmål}
  \begin{itemize}
  \item<2-> Forsvar og angrib med eksempler MacKenzies 3 bevistyper
  \item<3-> Er det et problem, at matematisk stringens er tidsafhængigt?
  \item<4-> I hvilke situationer skal man lægge vægt på hver af de 3 karakterer ved beviser?
  \item<5-> I hvilke situationer skal man værdsætte Marc Kacs 4 former for matematisk indsigt?
  \end{itemize}
  \end{block}
}
\end{document}
